Lý thuyết sơ cấp của các số(MS: 183)

Sierpinski được biết tới với những cống hiến xuất sắc trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt là về tiên đề chọn và giả thuyết continuum. Cụ thể ông đã chứng minh được trong hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel thì từ giả thuyết continuum dạng mở rộng có thể suy ra tính đúng đắn của tiên đề chọn. Bên cạnh đó mặc dù Cantor là cha đẻ của lý thuyết tập hợp nhưngSierpinski lại là người đầu tiên giảng dạy về lý thuyết tập hợp ở bậc đại học (1909). Ông đã công bố 724 bài báo và 50 cuốn sách. Có ba hình fractal được đặt theo tên ông là tam giác Sierpinski, thảm Sierpinski và đường cong Sierpinski. Đường cong Sierpinski có ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết bài toán người đưa thư và là cơ sở xây dựng đường cong liên tục phủ kín hình vuông đơn vị. Sierpinski đã giảng dạy tại Lwów từ năm 1908 tới 1914. Lwów là nơi (sau đó vài năm) trường phái Banach nổi tiếng ra đời. Trường phái Banach ra đời năm 1920 là một trong một số trường phái quan trọng đối với việc phát triển và hoàn thiện giải tích hàm hiện đại vào năm 1932

Comment:

- Nguyễn Quốc Khánh:

Tôi còn nhớ những ngày học đầu tiên thời cấp 2 khi bắt đầu tìm hiểu về phương trình nghiệm nguyên thì một ai đó đã đố tôi cùng các bạn học giải phương trình xn+yn=zn với n>2 và nói rằng người nào giải được sẽ được coi là một nhà toán học thực thụ. Sự đơn giản của phương trình và danh hiệu nhà toán học thực thụ khiến chúng tôi cảm thấy vô cùng hào hứng. Chúng tôi trên thực tế đã sử dụng rất nhiều giấy nháp và nhiều buổi tính toán triền miên mà không dẫn tới kết quả. Sự hào hứng ban đầu đã nhanh chóng chuyển thành sự thất vọng nặng nề. Tình trạng này còn trở nên tệ hơn khi chúng tôi thậm chí còn không giải quyết được trường hợp riêng khi n=3 . Trong trường hợp đó dựa vào phân tích quen thuộc x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=z2 có thể suy ra mỗi nhân tử trong biểu thức ở giữa đều là lũy thừa bậc ba với các điều kiện bổ sung và chúng tôi cảm giác mình đã có thể xây dựng được một nghiệm mới nhỏ hơn nghiệm ban đầu (nếu có) và cứ như thế. Tuy nhiên cuối cùng thì các tính toán chi tiết vẫn không được hoàn thiện. Sự thất vọng khiến chúng tôi chán nản và thậm chí còn không trở lại nghiên cứu gì thêm về phương trình Pythagoras x2+y2=z2 vì coi rằng đây là một trường hợp tầm thường không cần xét tới. Mặt khác các tài liệu về toán những năm đó trong trường học là không đủ phong phú do đó chúng tôi có cảm giác mình giống như vẫn đang chơi với những bài toán đơn lẻ và không có gì đặc biệt. 

Chỉ tới khi lên cấp 3 thì tôi mới được tiếp cận với thư viện thực sự của một trường Đại học (tôi học lớp 10 tại khối chuyên Toán – Tin Đại học Khoa học tự nhiên và do đó được sử dụng gần như toàn bộ hệ thống thư viện của trường Đại học Quốc Gia Hà Nội). Sau khi tra cứu trong hộp phích thì tôi đã chọn một cuốn sách tương đối dày và có tựa đề tiếng Việt tương đối dễ hiểu là Lý thuyết sơ cấp của các số. Cũng cần nói thêm là tôi đã cố chọn cuốn sách có tựa đề đơn giản vì ngày đó tôi chưa đọc thạo sách toán bằng tiếng Anh. 

Tuy nhiên rất bất ngờ là một cuốn sách có tựa đề có vẻ sơ cấp như vậy lại có riêng một mục để nói về phương trình x3+y3=z3 mà chúng tôi đã loay hoay hết cả thời cấp 2. Theo đó thì phương trình này là không có nghiệm nào ngoài các nghiệm tầm thường và cuốn sách thậm chí đã cho tới hai chứng minh cho kết quả đó. Trong đó một chứng minh dựa trên tính toán và biến đổi sơ cấp cùng với phương pháp xuống thang, chứng minh kia dựa trên các số nguyên phức. Sự hào hứng những ngày cấp 2 đã thực sự trở lại vì hai chứng minh này rất gần gũi với những ý tưởng ban đầu mà chúng tôi đã cố gắng phát triển nhưng không đem lại kết quả. Tất nhiên ngay sau đó tôi đã nhận ra tuy ý tưởng ban đầu là giống nhau nhưng chúng tôi đã không có những phát triển mang tính quyết định. Khoảng cách giữa các tính toán không có kết quả và một chứng minh trọn vẹn trong trường hợp này nằm ở các ý niệm về các số nguyên phức, về các chuẩn của số nguyên phức, tính chia hết của số nguyên phức (những ý tưởng của Gauss) chứ không chỉ đơn thuần là một vài đẳng thức mang tính chất kỹ thuật nào đó. Một điểm thú vị là ngay sau đó thì tôi đã nhanh chóng bị cuốn hút bởi một vấn đề khác. Cuốn sách này thực sự là một tài liệu rất có giá trị với vô số các định lý, các kết quả, các chứng minh, trích dẫn các nhà toán học và mối liên kết giữa các bài toán. Từ việc đọc về các phương trình Diophante có dạng quen thuộc một cách có hệ thống tôi chuyển qua đọc về các số nguyên phức và nhanh chóng tiếp xúc với chứng minh luật tương hỗ bậc hai. Sau đó là các mở đầu về lý thuyết đồng dư và các định lý cùng chứng minh đẹp đẽ của Jacobi về tổng bốn bình phương. Nhưng ấn tượng nhất có lẽ là các nghiên cứu về sự xuất hiện các số nguyên tố trong một cấp số cộng cho trước. Các ước lượng về số lượng các số nguyên tố đặc biệt ấn tượng. Sự phong phú trong các định lý cùng với bảng danh sách dày đặc các nhà toán học được trích dẫn đã khiến tôi lần đầu tiên có cảm giác rằng toán học là rất rộng lớn, xuyên suốt và có ý nghĩa hơn một phương trình riêng rẽ rất nhiều. Sau này trong quá trình tiếp tục đọc và học lên tôi đã biết rằng phương trình xn+yn=zn và định lý cuối cùng của Fermat mãi tới vài năm sau (kể từ khi chúng tôi nhận được câu đố) mới được giải bởi Andrew Wiles. Chứng minh hoàn thiện được Wiles công bố năm 1995 và tại Đại hội Toán học thế giới 1998 thì Wiles đã được trao huy chương danh dự cho chứng minh đó (huy chương Fields giới hạn độ tuổi nhận giải là 40). Hơn nữa giá trị của việc giải phương trình này không thực sự nằm ở kết quả mà lại chính là những lý thuyết đẹp đẽ mà trong quá trình tìm lời giải cho nó các nhà toán học đã xây dựng nên. Đó là các lý thuyết về các dạng modular, lý thuyết về phương trình elliptic và các ngành khoa học hiện đại mà chúng tôi thời đó chưa hề nghe nói tới và cũng không thể hình dung nổi, chẳng hạn là hình học đại số số học.

Tôi đã cho rằng cuốn sách này là một tài liệu tốt mà ngay cả các bạn học sinh cấp 2 cũng có thể bắt đầu đọc mà không cần một sự chuẩn bị nào trước về mặt kiến thức. Hơn nữa tinh thần cốt lõi trong các phép chứng minh cũng chính là dấu vết của sự đẹp đẽ của toán học mà các bạn nên tiếp xúc càng sớm càng tốt. Theo đó, sau một thời giạ chuẩn bị thì cuối cùng thì tôi đã dịch toàn bộ cuốn sách này sang tiếng Việt. Và đây là bản dịch cuốn sách đó. Tức là cuốn “Elementary theory of numbers” của nhà toán học Wacław Sierpinski (1882-1969). Cuốn sách này được in lần thứ nhất vào năm 1964 (nghĩa là vài năm trước khi tác giả qua đời) và được in lần thứ hai năm vào năm 1988 với sự biên tập của nhà toán học Andrzej Schinzel. Bản dịch này dựa trên bản in lần thứ hai. Theo tôi các bạn học sinh cấp 2 và cấp 3 sẽ có thể đọc toàn bộ cuốn sách này một cách tương đốithoải mái. Hơn nữa trong cuốn sách này thì ngoài sự phong phú về các kết quả thì các kiến thức sơcấp về lý thuyết số cũng được trình bày đầy đủ với trình tự rất hiện đại. Do đó cũng có thể sử dụng cuốn sách như là một giáo trình nâng cao về số học dành cho các bạn học sinh khá giỏi.

Chương trình bày về các phương trình Diophante là một chương tuyệt hay vì trong đó các phươngpháp và ý tưởng được chứa đựng ngay trong các lời giải và các đề bài thì được sắp xếp theo trìnhtự có tính gắn kết rất cao. Tuy nhiên trong cuốn sách này lại không đề cập tới chứng minh của Matijasevich về việc không tồn tại phương pháp tổng quát để giải các phương trình Diophantetổng quát (bài toán Hilbert số 10). Điều này cũng dễ hiểu vì định lý này được trình bày năm 1970, nghĩa là một năm sau khi Sierpinski qua đời.

Sierpinski được biết tới với những cống hiến xuất sắc trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt là về tiên đềchọn và giả thuyết continuum. Cụ thể ông đã chứng minh được trong hệ tiên đề Zermelo-Fraenkelthì từ giả thuyết continuum dạng mở rộng có thể suy ra tính đúng đắn của tiên đề chọn. Bên cạnhđó mặc dù Cantor là cha đẻ của lý thuyết tập hợp nhưng Sierpinski lại là người đầu tiên giảng dạyvề lý thuyết tập hợp ở bậc đại học (1909). Ông đã công bố 724 bài báo và 50 cuốn sách. Có ba hìnhfractal được đặt theo tên ông là tam giác Sierpinski, thảm Sierpinski và đường cong Sierpinski.Đường cong Sierpinski có ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết bài toán người đưa thư và làcơ sở xây dựng đường cong liên tục phủ kín hình vuông đơn vị. Sierpinski đã giảng dạy tại Lwówtừ năm 1908 tới 1914. Lwów là nơi (sau đó vài năm) trường phái Banach nổi tiếng ra đời. Trườngphái Banach ra đời năm 1920 là một trong một số trường phái quan trọng đối với việc phát triểnvà hoàn thiện giải tích hàm hiện đại vào năm 1932.